Numero complejo elevado a una potencia

Fórmula de la potencia de los números complejos

Gráficas de y = bx para varias bases b: base 10, base e, base 2, base 1/2. Cada curva pasa por el punto (0, 1) porque cualquier número distinto de cero elevado a la potencia de 0 es 1. En x = 1, el valor de y es igual a la base porque cualquier número elevado a la potencia de 1 es el propio número.

La exponenciación es una operación matemática, escrita como bn, en la que intervienen dos números, la base b y el exponente o potencia n, y que se pronuncia como «b elevado a la potencia de n».[1] Cuando n es un número entero positivo, la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base: es decir, bn es el producto de multiplicar n bases:[1]

El exponente suele aparecer como un superíndice a la derecha de la base. En ese caso, bn se llama «b elevado a la enésima potencia», «b elevado a la potencia de n», «la enésima potencia de b», «b a la enésima potencia»,[2] o más brevemente como «b a la enésima».

Se tiene b1 = b, y, para cualesquiera enteros positivos m y n, se tiene bn ⋅ bm = bn+m. Para extender esta propiedad a exponentes enteros no positivos, se define b0 como 1, y b-n (con n un entero positivo y b no cero) como 1/bn. En particular, b-1 es igual a 1/b, el recíproco de b.

Potencias de números complejos en forma polar

Las potencias de los números complejos son sólo casos especiales de productos cuando la potencia es un número entero positivo. Ya hemos estudiado las potencias de la unidad imaginaria i y hemos comprobado que tienen un ciclo de longitud 4.

y así sucesivamente. Las razones fueron que (1) el valor absoluto |i| de i era uno, por lo que todas sus potencias también tienen valor absoluto 1 y, por tanto, se encuentran en el círculo unitario, y (2) el argumento arg(i) de i era 90°, por lo que su enésima potencia tendrá argumento n90°, y esos ángulos se repetirán en un período de longitud 4 ya que 4-90° = 360°, un círculo completo.

En la figura se ve un número complejo z cuyo valor absoluto es aproximadamente la raíz sexta de 1/2, es decir, |z| = 0,89, y cuyo argumento es 30°. Aquí, el círculo unitario está sombreado en negro mientras que fuera del círculo unitario es gris, por lo que z está en la región negra. Como |z| es menor que uno, su cuadrado está a 60° y más cerca de 0. Cada potencia mayor está 30° más lejos y aún más cerca de 0. Las primeras seis potencias se muestran, como puedes ver, como puntos en una espiral. Esta espiral se llama espiral geométrica o exponencial.

Potencia y raíz de los números complejos

ángulo es dos sobre tres pi. Eso nos llevaría, veamos. Esto es cero, esto es pi, vamos a llegar a dos tercios de pi. Cada uno de estos es uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, 10, 11, 12. Cada uno de estos es pi sobre

a través de que es dos tercios de pi es lo mismo que ocho pi sobre doce. Cada uno de estos segmentos es pi sobre 12 así que acabo de contar ocho de ellos. Ese es el número, pero ahora vamos a tratar de elevarlo a la vigésima potencia. Para ello vamos a

aquí va a ser 12 pi. Déjame restarle 12 pi a esto. Si le resto 12 pi, lo haré aquí abajo. 13 y un tercio pi menos 12 pi. Recuerda, sólo estoy tratando de restar el mayor múltiplo de dos pi que pueda. 13 y un tercio menos

doce es uno y un tercio. Eso va a ser uno y un tercio pi, o podríamos escribirlo como cuatro tercios pi. Este número complejo va a ser equivalente a e a los cuatro tercios pi i. Esto lo hace mucho más simple y

Número complejo elevado a una calculadora de potencia

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

Por supuesto, podríamos hacer esto multiplicando el número, pero esto llevaría mucho tiempo y sería propenso a errores. En su lugar, podemos convertir a la forma exponencial y luego utilizar \ ~ (\eqref {eq:eq1}) para obtener rápidamente la respuesta.

\& = {Izquierda( {3 + 3i} \\\NDerecha)^5} & = {Izquierda( {3\sqrt 2 } \NDerecha)^5} {{bf{e}^{i},\Nfrac{5\pi}{4}} & = 972\sqrt 2 \N, \left( {\cos \left( {\frac{5\pi }}{4}\right) + i\sin \left( {\frac{5\pi }}{4}\right)} \\N-derecha)\Ny = 972\N-cuadrado 2 \N-izquierda( { – \frac{{cuadrado 2}}{2} – \frac{{cuadrado 2}{2}i} \N-derecha)\N- y = – 972 – 972i\N-fin{align*}

Ahora tenemos que pasar a calcular raíces de números complejos. Empezaremos de forma «sencilla» encontrando las enésimas raíces de la unidad. Las enésimas raíces de la unidad para \ (n = 2,3, \ldots \) son las distintas soluciones de la ecuación,

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