Ecuacion lineal de segundo grado

Solución general de una ecuación diferencial de segundo orden

Cuando se trabaja con ecuaciones diferenciales, normalmente el objetivo es encontrar una solución. En otras palabras, queremos encontrar una función (o funciones) que satisfaga la ecuación diferencial. La técnica que utilizamos para encontrar estas soluciones varía, dependiendo de la forma de la ecuación diferencial con la que estamos trabajando. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen varias características importantes que pueden ayudarnos a determinar qué método de solución utilizar. En esta sección, examinamos algunas de estas características y la terminología asociada.

Observe que \(y\) y sus derivadas aparecen en una forma relativamente simple. Se multiplican por funciones de \(x\), pero no se elevan a ninguna potencia por sí mismas, ni se multiplican juntas. Como se ha comentado anteriormente, se dice que las ecuaciones de primer orden con características similares son lineales. Lo mismo ocurre con las ecuaciones de segundo orden. Obsérvese también que todos los términos de esta ecuación diferencial implican o bien \(y\) o bien una de sus derivadas. No hay términos que impliquen sólo funciones de \(x\). Las ecuaciones como ésta, en las que cada término contiene \(y\) o una de sus derivadas, se llaman homogéneas.

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Ecuación diferencial ordinaria

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En el capítulo anterior vimos las ecuaciones diferenciales de primer orden. En este capítulo pasaremos a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Al igual que en el capítulo anterior, veremos algunos casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden que podemos resolver. Sin embargo, a diferencia del capítulo anterior, vamos a tener que ser aún más restrictivos en cuanto a los tipos de ecuaciones diferenciales que vamos a ver. Esto será necesario para que podamos realmente resolverlas.

Conceptos básicos – En esta sección daremos una discusión en profundidad sobre el proceso utilizado para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas, lineales y de segundo orden, \(ay» + by’ + cy = 0\). Derivamos el polinomio característico y discutimos cómo se utiliza el Principio de Superposición para obtener la solución general.

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Ecuación diferencial parcial

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma [latex]\frac{d^2 y}{dt^2} + A_1(t)\frac{dy}{dt} + A_2(t)y = f(t)[/latex], donde [latex]A_1(t)[/latex], [latex]A_2(t)[/latex], y [latex]f(t)[/latex] son funciones continuas.

Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma [latex]Ly = f[/latex], donde el operador diferencial [latex]L[/latex] es un operador lineal, [latex]y[/latex] es la función desconocida (como una función del tiempo [latex]y(t)[/latex]), y el lado derecho [latex]f[/latex] es una función dada de la misma naturaleza que [latex]y[/latex] (llamada término fuente). Para una función dependiente del tiempo, podemos escribir la ecuación más expresamente como [latex]L y(t) = f(t)[/latex] y, aún más precisamente, poniendo entre paréntesis [latex]L [y(t)] = f(t)[/latex].

La condición de linealidad en [latex]L[/latex] excluye operaciones como la toma del cuadrado de la derivada de [latex]y[/latex], pero permite, por ejemplo, tomar la segunda derivada de [latex]y[/latex]. Es conveniente reescribir esta ecuación en forma de operador:

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Este artículo trata de las ecuaciones diferenciales lineales con una variable independiente. Para ecuaciones similares con dos o más variables independientes, véase Ecuación diferencial parcial § Ecuaciones lineales de segundo orden.

Una ecuación de este tipo es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (EDP), si la función desconocida depende de varias variables, y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales.

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Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales tal que las ecuaciones homogéneas asociadas tienen coeficientes constantes puede resolverse por cuadratura, lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales. Esto también es cierto para una ecuación lineal de orden uno, con coeficientes no constantes. Una ecuación de orden dos o superior con coeficientes no constantes no puede, en general, resolverse por cuadratura. Para el orden dos, el algoritmo de Kovacic permite decidir si hay soluciones en términos de integrales, y calcularlas si las hay.

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