Cuales son los numeros imaginarios

usos de los números imaginarios en el mundo real

En matemáticas, los octoniones son un álgebra de división normada sobre los números reales, una especie de sistema numérico hipercomplejo. Los octoniones se suelen representar con la letra O mayúscula, utilizando la O en negrita o la negrita de pizarra

. Los octoniones tienen ocho dimensiones, el doble que los cuaterniones, de los que son una extensión. Son no conmutativos y no asociativos, pero satisfacen una forma más débil de asociatividad; es decir, son alternativos. También son asociativos de potencia.

Los octoniones no son tan conocidos como los cuaterniones y los números complejos, que son mucho más estudiados y utilizados. Los octoniones están relacionados con estructuras excepcionales en matemáticas, entre ellas los grupos de Lie excepcionales. Los octoniones tienen aplicaciones en campos como la teoría de cuerdas, la relatividad especial y la lógica cuántica. Aplicando la construcción Cayley-Dickson a los octoniones se obtienen los sedeniones.

Los octoniones fueron descubiertos en 1843 por John T. Graves, inspirado por el descubrimiento de los cuaterniones de su amigo William Rowan Hamilton. Graves llamó a su descubrimiento «octavos», y los mencionó en una carta a Hamilton fechada el 26 de diciembre de 1843.[1] Publicó su resultado por primera vez un poco más tarde que el artículo de Arthur Cayley.[2] Los octoniones fueron descubiertos independientemente por Cayley[3] y a veces se les llama «números de Cayley» o el «álgebra de Cayley». Hamilton describió la historia temprana del descubrimiento de Graves[4].

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¿qué son los números imaginarios?

Realmente sólo necesitas un nuevo número para empezar a trabajar con las raíces cuadradas de los números negativos. Ese número es la raíz cuadrada de [latex]-1,\sqrt{-1}[/latex]. Los números reales son los que se pueden mostrar en una recta numérica, ¡nos parecen bastante reales! Cuando algo no es real, solemos decir que es imaginario. Así que llamemos a este nuevo número i y utilicémoslo para representar la raíz cuadrada de [latex]-1[/latex].

Dado que [latex] \cdot,\qrt{x}=x[/latex], también podemos ver que [latex] \cdot,\qrt{-1}=-1[/latex] o [latex] i,\cdot,i=-1[/latex]. También sabemos que [latex] i,\cdot \c,i={i}^{2}}[/latex], por lo que podemos concluir que [latex] {{i}^{2}}=-1[/latex].

El número i nos permite trabajar con raíces de todos los números negativos, no sólo [latex] \sqrt{-1}[/latex]. Hay dos reglas importantes para recordar: [latex] \sqrt{-1}=i[/latex], y [latex] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/latex]. Utilizarás estas reglas para reescribir la raíz cuadrada de un número negativo como la raíz cuadrada de un número positivo multiplicada por [latex] \sqrt{-1}[/latex]. A continuación, simplificarás la raíz cuadrada y reescribirás [latex] \sqrt{-1}[/latex] como i. Probemos un ejemplo.

números imaginarios – introducción básica

Alguna vez te has sentado en una clase de matemáticas y te has preguntado: «¿Cuándo voy a utilizar esto?». Es posible que te hayas hecho esta pregunta cuando te encontraste por primera vez con los números «imaginarios», y con razón: ¿Qué puede ser menos práctico que un número descrito como imaginario?

Pero los números imaginarios, y los números complejos que ayudan a definir, resultan ser increíblemente útiles. Tienen un gran impacto en la física, la ingeniería, la teoría de los números y la geometría. Y son el primer paso hacia un mundo de sistemas numéricos extraños, algunos de los cuales se proponen como modelos de las misteriosas relaciones que subyacen en nuestro mundo físico. Veamos cómo estos números desconocidos tienen sus raíces en los números que conocemos, pero al mismo tiempo no se parecen a nada que hayamos imaginado.

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Pero no era tan fácil hacer esto para ecuaciones como $latex x^2-3x+10=0$. Encontrar dos números que sumen 3 y se multipliquen por 10 parece un reto imposible. Si el producto de los dos números es positivo, deben tener el mismo signo, y como su suma es positiva, esto significa que ambos deben ser positivos. Pero si dos números positivos suman 3, ambos deben ser menores que 3, lo que significa que su producto será menor que 3 × 3 = 9. No parece que haya una forma de hacer que esto funcione.

introducción a la i y a los números imaginarios

La unidad imaginaria o número imaginario unitario (i) es una solución a la ecuación cuadrática x2 + 1 = 0. Aunque no existe ningún número real con esta propiedad, i puede utilizarse para extender los números reales a los llamados números complejos, utilizando la suma y la multiplicación. Un ejemplo sencillo del uso de i en un número complejo es 2 + 3i.

en el que existe al menos una raíz para cada polinomio no constante (véase Cierre algebraico y Teorema fundamental del álgebra). Aquí se utiliza el término «imaginario» porque no hay ningún número real que tenga un cuadrado negativo.

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En contextos en los que el uso de la letra i es ambiguo o problemático, a veces se utiliza la letra j o la griega ι.[a] Por ejemplo, en ingeniería eléctrica e ingeniería de sistemas de control, la unidad imaginaria se denota normalmente por j en lugar de i, porque i se utiliza comúnmente para denotar la corriente eléctrica.

Aunque la construcción se llama «imaginaria», y aunque el concepto de un número imaginario puede ser intuitivamente más difícil de entender que el de un número real, la construcción es perfectamente válida desde el punto de vista matemático. Las operaciones con números reales pueden extenderse a los números imaginarios y complejos, tratando i como una incógnita al manipular una expresión (y utilizando la definición para sustituir cualquier aparición de i2 por -1). Las potencias integrales superiores de i también pueden sustituirse por -i, 1, i o -1:

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